Numitorul fracțiilor poate fi scris ca un produs de radicali:
[tex]a = \dfrac{ \sqrt{1} - \sqrt{2} }{\sqrt{1 \cdot 2}} + \dfrac{ \sqrt{2} - \sqrt{3} }{\sqrt{2 \cdot 3}} + \dfrac{ \sqrt{3} - \sqrt{4} }{ \sqrt{3 \cdot 4} } + ... + \dfrac{ \sqrt{99} - \sqrt{100} }{ \sqrt{99 \cdot 100} } = \\ [/tex]
Fiecare fracție poate fi scrisă ca o diferență:
[tex]= \dfrac{\sqrt{\not1}}{\sqrt{\not1} \cdot \sqrt{2}} - \dfrac{ \sqrt{\not2}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\not2}} + \dfrac{ \sqrt{\not2}}{\sqrt{\not2} \cdot \sqrt{3}} - \dfrac{ \sqrt{\not3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\not3}} + \dfrac{ \sqrt{\not3}}{\sqrt{\not3} \cdot \sqrt{4}} - \dfrac{ \sqrt{\not4}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\not4}} + ... + \dfrac{ \sqrt{\not98}}{\sqrt{\not98} \cdot \sqrt{99}} - \dfrac{ \sqrt{\not99}}{\sqrt{98} \cdot \sqrt{\not99}} + \dfrac{ \sqrt{\not99}}{\sqrt{\not99} \cdot \sqrt{100}} - \dfrac{ \sqrt{\not100}}{\sqrt{99} \cdot \sqrt{\not100}} \\ [/tex]
Simplificăm:
[tex]= \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{99}} - \dfrac{1}{\sqrt{98}} + \dfrac{1}{\sqrt{100}} - \dfrac{1}{\sqrt{99}} \\ [/tex]
[tex]= - \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{100}} = \dfrac{1}{10} - 1 = \dfrac{1 - 10}{10} = \bf - \dfrac{9}{10} \in \Bbb{Q}\\[/tex]
Numărul a este rațional
[tex]\implies \boldsymbol{a \in \Bbb{Q}}[/tex]
