Exercițiul 1
[tex] \dfrac{x-2}{x+1} \in \mathbb{Z} , x\in\mathbb{Z} [/tex] .
Numărul e întreg dacă numărătorul se divide cu numitorul, din acest lucru trebuie să avem un număr natural sau întreg la numărător, deci transformăm fracția:
[tex] \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x + 1 - 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{3}{x + 1} \\ = 1 - \frac{3}{x + 1} \in \mathbb{Z} , x\in \mathbb{Z} \\ \implies x + 1\in D_3 \\ x + 1\in\{ - 3, - 1,3,1\} \\ \tt x\in\{ - 4, - 2,0,2\}[/tex]
Exercițiul 2
[tex]\dfrac{2x-3}{x+1} \in \mathbb{Z} , x\in\mathbb{Z} [/tex] . Iarăși, transformăm fracția pentru a avea un număr la numărător.
[tex] \frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{2x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 5}{x + 1} \\ = \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{5}{x + 1} = 2 - \frac{5}{x + 1} \\ \iff 2 - \frac{5}{x + 1} \in \mathbb{Z} , x\in \mathbb{Z} \\ \implies x + 1\in D_5\\ x + 1\in\{ - 5, - 1,5,1\} \\ \tt x\in\{ - 6, - 2,0,4\}[/tex]
