EXERCIȚIUL 4
Punctul b)
[tex] \sqrt[3]{(7-x)^2} + \sqrt[3]{(x+1)^2} -\sqrt[3]{(7-x)(x+1)} =4 [/tex]
Notăm [tex] a=\sqrt[3]{7-x}[/tex] și [tex] b=\sqrt[3]{x+1} [/tex]
Deci ecuația devine:
[tex] a^2+b^2-ab=4 \\ a^2-ab=4-b^2 \\ a(a-b)=(2-b)(2+b) [/tex]
Ne trebuie numere naturale. fiind ridicat la puterea a 3, nu se va schimba semnul, ceea ce va încurca rezultatul, observăm ca:
a=2, b=0 | a=0, b=2 | a=2, b=2
Sunt singurele soluții
pentru fiecare , înlocuim:
Pentru a=2, b=0, avem:
[tex] \sqrt[3]{7-x}=2 \implies 7-x=8 \implies x=-1 \\ \sqrt[3]{x+1}=0 \implies x+1=0 \implies x=-1 [/tex]
Pentru a=0, b=2, avem:
[tex] \sqrt[3]{7-x}=0 \implies 7-x=0 \implies x=7 \\ \sqrt[3]{x+1}=2 \implies x+1=8 \implies x=7 [/tex]
Pentru a=2, b=2, avem:
[tex] \sqrt[3]{7-x}=2 \implies 7-x=8 \implies x=-1 \\ \sqrt[3]{x+1}=2 \implies x+1=8 \implies x=7 [/tex]
Soluție: [tex] \tt S=\{-1, \ 7\} [/tex]
Punctul c)
[tex] \sqrt{5-x} +\sqrt[3]{x-3} =2 \\ \sqrt[3]{x-3}=2-\sqrt{5-x} \bigg| ^3 \\ x-3=(2-\sqrt{5-x} )^3 [/tex]
Dacă faci calculul acela folosind formula [tex] (a-b)^3=a^3-3a^2b +3ab^2 -b^3[/tex] vei obține:
[tex] x-3=38-12\sqrt{5-x}-6x-\sqrt{(5-x)^3} \\ x-3=38-12\sqrt{5-x} -6x+(-5+x)\sqrt{5-x} \\ 7x-41=-\sqrt{5-x} [12-(-5+x)] \\ (7x-41)^2=(5-x)(17-x)^2 [/tex]
Iarăși te las pe tine aici cu calculele mai lungi, dar trebuie să obții:
[tex] 10x^2 -115x +236 +x^3 =0 \\ x^3 +10x^2 -115x +236=0 \\ (x-4)(x^2+14x-59)=0 \\ \\ x_1 =4 \\ x_2 =\dfrac{-14-\sqrt{432}}{2}=-7-6\sqrt{3} \\ x_3 =\dfrac{-14+\sqrt{432}}{2} =6\sqrt{3}-7 [/tex]
Soluția ecuației este :
[tex] \tt S=\{ -7-6\sqrt{3} , 6\sqrt{3}-7, 4 \} [/tex]
Punctul d)
[tex] \sqrt[4]{x-1} +2=\sqrt[4]{x+15} \bigg| ^4 \\ (\sqrt[4]{x-1}+2 )^4=x+15 \\ (\sqrt[4]{x-1}+2)^4 -x-15=0 [/tex]
Te las pe tine iar să faci paranteza, pentru ca nu vreau să umplu aici cu expresii lungi, dar poți folosi formula:
[tex] (a+b)^4 =a^4 +4a^3b +6a^2 b^2 +4ab^3 +b^4 [/tex]
O să ai:
[tex] 32\sqrt[4]{x-1}+24\sqrt{x-1} +8\sqrt[4]{(x-1)^3}=0 [/tex]
Notăm [tex]y=\sqrt[4]{x-1} [/tex]. Vom avea:
[tex] 32y+24y^2 +8y^3 =0 \\ 8y(y^2+3y+4)=0 [/tex]
y^2 +3y+4 nu are soluții reale pentru ca delta este 9-4*1*4=-7 mai mic ca 0
Deci doar 8y=0 adică y=0
[tex] \implies \sqrt[4]{x-1} =0 \implies x-1=0 \implies x=1 [/tex]
Soluție [tex] \tt S=\{1 \} [/tex]
EXERCIȚIUL 4
Punctul b)
[tex] \sqrt{x-2} \leq 8 [/tex]
Păi domeniul de definiție (când x există) este când [tex] x-2 \geq 0 \implies x \geq 2 [/tex]
Ridicăm ambele părți ale inecuației la 2
[tex] \implies x-2 \leq 64 \implies x \leq 66 \\ \begin{rcases} x \leq 66 \\ x \geq 2 \end{rcases} \implies \tt x\in [2, 66] [/tex]
SUCCES IN CONTINUARE
