ABCD dreptunghi, ΔBOC echilateral, M∈BD, MD = OB = 4 cm
______
a) ABCD dreptunghi ⇒ O este intersecția diagonalelor (într-un dreptunghi diagonalele se înjumătățesc în segmente egale)
⇒ OD≡OB ⇒ OD = 4 cm
ΔBOC echilateral ⇒ OB ≡ BC. Dar AD≡BC ⇒ AD = 4 cm
Din MD = OD = AD = 4 cm, conform RT înălțimii ⇒ ΔAOM este dreptunghic, cu ∡MAO=90°
[tex]OM = OD+MD = 2 \cdot 4 = 8 \ cm[/tex]
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔMAO
[tex]AM = \sqrt{OM^2-AD^2} = \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = \sqrt{3 \cdot4^2} = 4\sqrt{3}\\[/tex]
[tex]\implies \bf AM = 4\sqrt{3} \ cm[/tex]
b) Aria triunghiului AMB putem să o aflăm în mai multe moduri. Ne fom folosi de proprietatea medianei:
- Într-un triunghi, mediana unei laturi împarte triunghiul în 2 triunghiuri echivalente, având fiecare jumătate din aria triunghiului inițial.
AD este mediană în ΔMAO
[tex]\mathcal{A}_{\Delta ADO} = \dfrac{\mathcal{A}_{\Delta MAO}}{2 } \implies \mathcal{A}_{\Delta MAO} = 2 \cdot \mathcal{A}_{\Delta ADO}[/tex]
BO este mediană în ΔABC
[tex]\mathcal{A}_{\Delta ABO} = \mathcal{A}_{\Delta BOC}[/tex]
iar ΔADO ≡ ΔBOC (echilaterale, cu laturi congruente)
Așadar:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta MAB} = \mathcal{A}_{\Delta MAO} + \mathcal{A}_{\Delta AOB} = 3 \cdot\mathcal{A}_{\Delta BOC} = \\[/tex]
[tex]= 3 \cdot \dfrac{OB^2\sqrt{3} }{4} = 3 \cdot \dfrac{4^2\sqrt{3} }{4} = \bf12\sqrt{3} \ cm^2[/tex]
sau:
Construim înălțimea AM⊥BM ⇒ AM este înălțime în ΔADO
ΔADO ≡ ΔBOC ⇒ ΔADO este echilateral
[tex]AM = \dfrac{AD\sqrt{3} }{2} = \dfrac{4\sqrt{3} }{2} = 2\sqrt{3} \ cm[/tex]
[tex]BM = OB+OD+MD = 3 \cdot 4 = 12 \ cm\\[/tex]
[tex]\mathcal{A}_{\Delta MAB} = \dfrac{AM \cdot MB}{2} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 12}{2} = \bf12\sqrt{3} \ cm[/tex]
______
✍ Reciproca teoremei înălțimii: Dacă într-un triunghi ABC, în care unghiurile B și C sunt ascuțite, înălțimea din A este medie proporțională între segmentele determinate de ea pe latura opusă, atunci triunghiul este dreptunghic în A.
