Răspuns :
Demonstrație prin inducția matematică
Notăm:
[tex]P(n) \ \ 2^{n} \geq n + 1, \ \ \forall n \in \Bbb{N^{\ast}}[/tex]
- Pasul 1: Etapa de verificare
Verificăm dacă expresia este adevărată pentru n = 1:
[tex]P(0) \ \ 2^{1} = 2 \geq 1 + 1 = 2 \to (A)[/tex]
- Pasul 2: Etapa de demonstrație
Presupunem că propoziția P(k) este adevărată pentru ∀k∈N*
[tex]P(k) \ \ 2^{k} \geq k + 1 \to (A) \\[/tex]
- Pasul 3: Demonstrăm pentru n = k + 1
Trebuie să demonstrăm că, dacă ipoteza de inducție este adevărată pentru n = k, atunci ea este și adevărată pentru n = k + 1. Vom demonstra că P(k+1) este adevărată, unde k∈N*
[tex]P(k + 1) \ \ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \geq 2 \cdot (k + 1) = k + k + 2 \geq k + 2 = (k + 1) + 1 \to \ (A)\\[/tex]
- Pasul 4: Concluzie
Deoarece am verificat că ipoteza este adevărată pentru n = 1 și am arătat că, dacă este adevărată pentru n = k, atunci este adevărată și pentru n = k + 1, prin urmare, conform principiului inducției matematice, expresia adevărată pentru orice n natural nenul.
[tex]\Rightarrow P(k + 1) \to adev\breve{a}rat\breve{a} \Rightarrow \boldsymbol{P(n) \ este \ adev\breve{a}rat\breve{a} \ \forall n \in \Bbb{N^{\ast}}}\\[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!