Ni se dau numerele a și b și să calculăm
[tex] a=\sqrt{2-\sqrt{2}} [/tex] și [tex] b=\sqrt{2+\sqrt{2}} [/tex]
Punctul a)
[tex] a\cdot b= \sqrt{(2-\sqrt{2} )(2+\sqrt{2}} \\ = \sqrt{2^2 -(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4-2} =\tt \sqrt{2} [/tex]
Punctul b)
[tex] (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 \\ = 2-\sqrt{2} +2\sqrt{2} +2+\sqrt{2} \\ = 2\sqrt{2} +4 = \tt 2(\sqrt{2}+2 ) [/tex]
Punctul c)
[tex] \dfrac{b}{a} -\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}-\sqrt{2} \\ = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}-\sqrt{2} \\ =\sqrt{\dfrac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2}}-\sqrt{2} \\ = \sqrt{\dfrac{6+4\sqrt{2}}{2}} -\sqrt{2} \\ = \sqrt{3+2\sqrt{2}} -\sqrt{2} \\ = \sqrt{1+2\sqrt{2}+2}-\sqrt{2} \\ = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2}-\sqrt{2} \\ = 1+\sqrt{2} -\sqrt{2} = \tt 1 \in \mathbb{Q} [/tex]
