Matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este diferit de 0 ⇒ det A ≠ 0
1) Calculăm determinantul:
[tex](1+x)(1-2x)+2x^2 = 1 -2x+x-2x^2+2x^2 = 1-x\neq 0 \implies x \neq 1[/tex]
⇒ matricea A este inversabilă
[tex]det A = 1 - x[/tex]
2) Scriem transpusa matricei A:
[tex]^{t}A = \left(\begin{array}{cc}1+x&2x\\-x&1-2x\end{array}\right)[/tex]
3) Construim matricea adjunctă a matricei A, notată A*:
[tex]A^{\ast} = \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)[/tex]
[tex]a = (-1)^{1+1} \cdot | 1 - 2x| = 1 - 2x[/tex]
[tex]b = (-1)^{1+2} \cdot | -x| = -(-x) = x[/tex]
[tex]c = (-1)^{2+1} \cdot | 2x| = -2x[/tex]
[tex]d = (-1)^{2+2} \cdot |1 + x| = 1 + x[/tex]
[tex]A^{\ast} = \left(\begin{array}{cc}1 - 2x&x\\-2x&1+x\end{array}\right)[/tex]
4) Determinăm inversa matricei A, folosind următoarea formulă:
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{det \ A} \cdot A^{\ast}[/tex]
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{1 - x} \cdot \left(\begin{array}{cc}1 - 2x&x\\-2x&1+x\end{array}\right)[/tex]
[tex]A^{-1} = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{1 - 2x}{1 - x} &\dfrac{x}{1 - x}\\\\-\dfrac{2x}{1 - x}&\dfrac{1 + x}{1 - x} \end{array}\right)\\[/tex]
Condiția este A(x) = A⁻¹(x)
[tex]\left(\begin{array}{cc}1+x&-x\\2x&1-2x\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{1 - 2x}{1 - x} &\dfrac{x}{1 - x}\\\\-\dfrac{2x}{1 - x}&\dfrac{1 + x}{1 - x} \end{array}\right)[/tex]
[tex]\begin{cases} 1 +x = \dfrac{1 - 2x}{1 - x} \\ \\ -x = \dfrac{x}{1 - x} \\ \\2x = -\dfrac{2x}{1 - x} \\ \\ 1 - 2x = \dfrac{1 + x}{1 - x} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 - x^2 = 1 - 2x \\ -x + x^2 = x \\2x - 2 x^2 = - 2x \\ 1 - 3x + 2x^2 = 1 + x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x (x - 2) = 0 \\ x (x - 2) = 0 \\ x(x- 2 ) = 0 \\ x (x - 2) = 0 \end{cases}[/tex]
Prin rezolvarea celor 4 ecuații se obțin soluțiile
⇒ x = 0 și x = 2, pentru care matricea A coincide cu inversa sa
______
Mai multe despre adunarea, scăderea, înmulțirea matricelor
- brainly.ro/tema/10779495
- brainly.ro/tema/10652746
- brainly.ro/tema/2878848
