Răspuns :
Pentru a arăta că \(7^n - 5^n\) este divizibil cu 5 pentru orice număr natural \(n\), putem folosi inducția matematică.
1. **Cazul de bază \(n = 1\):**
\(7^1 - 5^1 = 2\) este divizibil cu 5.
2. **Ipoteza de inducție:**
Presupunem că pentru un anumit \(k\) natural, expresia \(7^k - 5^k\) este divizibilă cu 5.
3. **Pasul de inducție:**
Trebuie să arătăm că și pentru \(k + 1\) aceeași condiție este îndeplinită.
\(7^{k+1} - 5^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\)
Putem împărți acest termen în \(7 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\) și \(5 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\).
Din ipoteza de inducție, știm că \(7^k - 5^k\) este divizibil cu 5.
Din simplificare, obținem \(5 \cdot (7^k - 5^k)\), deci este divizibil cu 5.
Astfel, \(7^{k+1} - 5^{k+1}\) este produsul a două termeni divizibili cu 5 și, prin urmare, este divizibil cu 5.
Prin urmare, am demonstrat că \(7^n - 5^n\) este divizibil cu 5 pentru orice \(n\) număr natural.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!