Răspuns :
Vom amplifica fracțiile și vom raționaliza numitorii
[tex]\dfrac{1}{1+\sqrt{2} } + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} } + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4} }+ ... + \dfrac{1}{\sqrt{2011} + \sqrt{2012} } = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2} -1)} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) } + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3}) }+ ... +\\[/tex]
[tex]+\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{(\sqrt{2011}+\sqrt{2010})(\sqrt{2011}-\sqrt{2010}) } + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})(\sqrt{2012}-\sqrt{2011}) } \\[/tex]
- utilizăm formula de calcul prescurtat:
[tex]\boxed{\boldsymbol{(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}}}[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2-1^2} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2-(\sqrt{3})^2 }+ ... +\\[/tex]
[tex]+\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{(\sqrt{2011})^2-(\sqrt{2010})^2} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{(\sqrt{2012})^2-(\sqrt{2011})^2}[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2-1} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+ ... +\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2011-2010} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{2012-2011}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{1} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}+ ... +\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{1} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{1}\\[/tex]
- se reduc termenii asemenea:
[tex]= \not\sqrt{2}-1+\not\sqrt{3}-\not\sqrt{2}+\not\sqrt{4}-\not\sqrt{3}+ ... +\not\sqrt{2011}-\not\sqrt{2010}+\sqrt{2012}-\not\sqrt{2011}\\[/tex]
[tex]= - 1 + \sqrt{2012} = \sqrt{2012} - 1[/tex]
[tex]= \bf2\sqrt{503} - 1[/tex]
______
✨ Prin raționalizarea numitorului unei fracții înțelegem procedeul prin care transformăm o fracție cu numitor irațional într-o fracție cu numitor rațional.
✨ Dacă numitorul este de forma √a – √b, vom amplifica cu conjugata, adică cu √a + √b, iar la numitor vom obține a – b
✨ Dacă numitorul este de forma √a + √b, vom amplifica cu conjugata, adică cu a – √b, iar la numitor vom obține a – b
______
Rezolvarea la o temă asemănătoare:
- brainly.ro/tema/10833565
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!