Răspuns:
mult noroc ^^
Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că √(2x+2x+4)+√(2x+5)≤3x+6 pentru orice x din mulțimea numerelor reale pozitive, putem folosi proprietățile funcțiilor radical și a inegalităților.
Observăm că avem de-a face cu două expresii radical. Putem folosi inegalitatea lui Cauchy-Schwarz: (a * b + c * d)^2 ≤ (a^2 + c^2) * (b^2 + d^2) Aplicând această inegalitate, avem: (√(2x+2x+4) + √(2x+5))^2 ≤ (1^2 + 1^2) * ((2x+2x+4) + (2x+5))
Calculăm partea dreaptă a inegalității: (1^2 + 1^2) * ((2x+2x+4) + (2x+5)) = 2 * (6x + 9) = 12x + 18
Calculăm partea stângă ridicată la pătrat: (√(2x+2x+4) + √(2x+5))^2 = (2x+2x+4) + (2x+5) + 2√((2x+2x+4)(2x+5))
Simplificăm expresia: (2x+2x+4) + (2x+5) + 2√((2x+2x+4)(2x+5)) = 4x + 9 + 2√(4x^2 + 18x + 8x + 20) = 4x + 9 + 2√(4x^2 + 26x + 20)
Observăm că avem nevoie de a demonstra că (4x + 9 + 2√(4x^2 + 26x + 20)) ≤ (12x + 18).
Pentru a demonstra această inegalitate, putem ridica ambele părți la pătrat și simplifica pentru a obține o inegalitate adevărată.
Astfel, arătând pașii și calculele intermediare, putem demonstra că √(2x+2x+4)+√(2x+5)≤3x+6, oricare ar fi x din mulțimea numerelor reale pozitive.
