Punctul a)
Prin definirea relației divizibilității, acest lucru se poate scrie astfel:
dacă a|b, este același lucru ca există un număr întreg m, astfel încât b=a•m. La fel și pentru b|c. Matematic, se scrie:
[tex] a|b \iff \exists m \in \mathbb{Z} \ a.i. \ b=a \cdot m \\ b|c \iff \exists n\in \mathbb{Z} \ a.i. \ c=b \cdot n [/tex]
Din a doua relație, îl scoatem pe b în funcție de c și în substituim în prima.
[tex] c=b \cdot n \implies b=\dfrac{c}{n} \\ \iff \dfrac{c}{n} = a \cdot m \implies c=(a \cdot m) \cdot n \\ c=a \cdot (m \cdot n) \implies \tt a | c [/tex]
Punctul b)
La fel procedăm și aici:
[tex] a|b \iff \exists k \in \mathbb{Z} \ a.i. \ b=a \cdot k \\ b|a \iff \exists t \in \mathbb{Z} \ a.i. \ a=b \cdot t [/tex]
Înlocuim a-ul în prima ecuație și obținem
[tex] b=b \cdot t \cdot k \ \big| :b \\ 1= t \cdot k [/tex]
Cum t si k sunt numere întregi, singura modalitate ca această ecuație să fie adevărată este când k=t=1
[tex] \implies k=t \implies a=b [/tex]
