👤
PITAPATEUROID
a fost răspuns

Se dau toate numerele naturale de trei cifre care împărțite la 73 dau restul 37. Suma tuturor numerelor naturale date este egală cu: a. 7124 b. 4032 c. 2015 d. 9000​

Răspuns :

ADRESAANAID

Teorema împărțirii cu rest ne spune că:

D = Î · C + R

⇒ [tex]\overline{abc}[/tex] = 73 · C + 37

Aflăm C minim și maxim, știind că D are trei cifre.

100 : 73 = 1, rest 27

⇒  [tex]\overline{abc}[/tex]  = 73 · 1 + 37 > 100 are 3 cifre ⇒  C minim = 1

1000 : 73 = 13, rest 51

⇒  [tex]\overline{abc}[/tex]  = 73 · 13 + 37 < 1000 are 3 cifre ⇒ C maxim = 13

⇒ C ∈ {1, 2, 3, ..., 13}

[tex]\overline{abc}[/tex] = 73 · C + 37  ⇒ sunt 13 numere

Calculăm suma numerelor:

S = (73 · 1 + 37) + (73 · 2 + 37) + ... + (73 · 13 + 37)

S = 73 · 1 + 73 · 2 + ... 73 · 13 + 37 · 13

S = 73 · (1 + 2 + ... + 13) + 481

S = 73 · 13 · 14 / 2 + 481   (aplicăm formula lui Gauss)

S = 6643 + 481

S = 7124

răspuns final: a. 7124

Răspuns:

Explicație pas cu pas:Pentru a afla aceste numere, trebuie să căutăm toate numerele de forma abc care împărţite la 73 dau restul 37. Din algoritmul de împărţire, aflăm că aceste numere sunt de forma 73n + 37, unde n este un număr natural. Deoarece n variază de la 1 la 13, există 13 astfel de numere. Suma tuturor numerelor naturale date este egală cu suma acestor 13 numere.

Folosind formula sumei unei progresii aritmetice, putem calcula suma acestor numere:

S=73⋅213⋅(1+13)​//2+37⋅13=7124

Prin urmare, răspunsul corect este 7124.

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari