Pentru a rezolva această problemă, vom folosi proprietatea perimetrelor triunghiurilor.
Perimetrul unui triunghi se obține prin adunarea lungimilor laturilor sale. Deci, putem scrie următoarele relații pentru perimetrele triunghiurilor ABD și ACD:
Perimetrul triunghiului ABD = AB + BD + AD
Perimetrul triunghiului ACD = AC + CD + AD
Știm că perimetrul triunghiului ABD este 48 cm, iar perimetrul triunghiului ACD este 59 cm. Putem scrie aceste informații sub forma ecuațiilor:
48 = AB + BD + AD (1)
59 = AC + CD + AD (2)
De asemenea, știm că perimetrul total al triunghiului ABC este 74 cm. Putem scrie această informație sub forma unei alte ecuații:
74 = AB + BC + AC (3)
Dorim să găsim lungimea segmentului AD. Pentru a face acest lucru, trebuie să eliminăm celelalte lungimi din ecuațiile (1) și (2).
Adunând ecuațiile (1) și (2), obținem:
48 + 59 = AB + BD + AD + AC + CD + AD
107 = AB + BD + AC + CD + 2AD (4)
Din ecuația (3) putem obține BC:
BC = 74 - AB - AC (5)
Înlocuind BC în ecuația (4), obținem:
107 = AB + BD + AC + CD + 2AD
107 = AB + BD + AC + CD + 2AD + 74 - AB - AC
107 = BD + CD + 2AD + 74 (6)
Acum avem două ecuații, (5) și (6), care conțin doar lungimea segmentului AD și lungimile BD și CD. Putem rezolva sistemul de ecuații pentru a găsi lungimea segmentului AD.
Înlocuind BD + CD în ecuația (6) cu AB + AC - BC, obținem:
107 = AB + AC - BC + 2AD + 74
107 = AB + AC - (74 - AB - AC) + 2AD + 74
107 = 2AB + 2AC - BC + 2AD + 74
107 = 2AB + 2AC - (74 - AB - AC) + 2AD + 74
107 = 2AB + 2AC - 74 + AB + AC + 2AD + 74
107 = 3AB + 3AC + 2AD (7)
Acum putem înlocui AB + AC în ecuația (7) cu BC:
107 = 3BC + 2AD (8)
Folosind ecuația (5), putem înlocui BC cu 74 - AB - AC:
107 = 3(74 - AB - AC) + 2AD
107 = 222 - 3AB - 3AC + 2AD
3AB + 3AC - 2AD = 115 (9)
Acum avem două ecuații care conțin numai lungimea segmentului AD:
3AB + 3AC + 2AD = 107 (8)
3AB + 3AC - 2AD = 115 (9)
Scăzând ecuația (9) din ecuația (8), obținem:
4AD = -8
AD = -2
Așadar, lungimea segmentului AD este -2. Aceasta este o valoare negativă, care nu este posibilă în contextul acestei probleme. Prin urmare, nu există o soluție validă cu datele furnizate.
