Răspuns:
a) Pentru a calcula sinusul unghiului dintre muchia SA și planul (ABC), putem folosi formula:
\[ \sin(\theta) = \frac{{\text{Proiecția SA pe planul (ABC)}}}}{{\text{Lungimea SA}}} \]
Într-un tetraedru regulat, unghiul dintre muchie și plan este de \( \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \), iar proiecția SA pe planul (ABC) este \( \frac{2}{3} \) din lungimea SA. Deci:
\[ \sin(\theta) = \frac{{\frac{2}{3} \cdot 24}}{{24}} = \frac{2}{3} \]
b) Pentru a calcula măsura unghiului dintre muchia SB și planul (SAD), putem folosi aceeași formulă, dar având în vedere că D este mijlocul laturii BC, lungimea BD este jumătate din lungimea BC:
\[ \sin(\phi) = \frac{{\text{Proiecția SB pe planul (SAD)}}}}{{\text{Lungimea SB}}} \]
Unghiul dintre muchie și plan este tot \( \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \), iar proiecția SB pe planul (SAD) este \( \frac{1}{3} \) din lungimea SB. Deci:
\[ \sin(\phi) = \frac{{\frac{1}{3} \cdot 24}}{{24}} = \frac{1}{3} \]
c) Pentru a calcula tangenta unghiului dintre planele (SBC) și (ABC), putem folosi formula:
\[ \tan(\psi) = \frac{{\text{Normala la (SBC) proiectată pe (ABC)}}}}{{\text{Normala la (ABC)}}} \]
Într-un tetraedru regulat, unghiul dintre aceste plane este \( \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \), iar normala la (SBC) proiectată pe (ABC) are aceeași direcție ca muchia SA. Normala la (ABC) este perpendiculară pe plan și are aceeași direcție cu muchia SA.
Deci:
\[ \tan(\psi) = \tan\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \]
