Răspuns:
a) Pentru a calcula aria triunghiului A'B'C', putem folosi relația dintre ariile a două triunghiuri asemănătoare.
Triunghiurile ABC și A'B'C' sunt asemănătoare, deoarece au aceeași formă și două unghiuri congruente (unghiul A este congruent cu unghiul A' și unghiul B este congruent cu unghiul B').
Aria triunghiului A'B'C' poate fi calculată folosind formula ariilor triunghiurilor asemănătoare:
Aria A'B'C' = (latura A'B'/latura AB)^2 * aria triunghiului ABC
Din enunț, știm că latura A'B' = 6 cm și latura AB = 9 cm.
Aria A'B'C' = (6/9)^2 * aria triunghiului ABC
Pentru a calcula aria triunghiului ABC, putem folosi formula lui Heron:
P = (AB + BC + AC)/2
P = (9 + 12 + 15)/2 = 18
Aria triunghiului ABC = √(P(P-AB)(P-BC)(P-AC))
= √(18(18-9)(18-12)(18-15))
= √(18*9*6*3)
= √2916
= 54 cm^2
Înlocuind valorile în formula pentru aria A'B'C':
Aria A'B'C' = (6/9)^2 * 54
= (2/3)^2 * 54
= 4/9 * 54
= 24 cm^2
Răspuns: Aria triunghiului A'B'C' este de 24 cm^2.
b) Pentru a calcula cosinusul unghiului diedru format de planul (ABC) cu planul a, putem folosi formula:
cosϴ = (ABcd)/(|AB|*|ABc|)
În acest caz, AB este proiecția laturii AB a triunghiului ABC pe planul a.
Latura AB este 9 cm, iar latura ABc se poate calcula folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ABc:
ABc^2 = BC^2 - AB^2
ABc = √(12^2 - 9^2)
= √(144 - 81)
= √63
= 3√7 cm
Înlocuind valorile în formula cosinusului unghiului diedru:
cosϴ = (ABcd)/(9*3√7)
= ABcd/(27√7)
Răspuns: Cosinusul unghiului diedru format de planul (ABC) cu planul a este ABcd/(27√7).
Succes, Victor
