Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ x = 7 }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Aducem la același numitor și amplificăm cu conjugata:
[tex]\dfrac{1^{(\sqrt{n+1}} }{\sqrt{n}} - \dfrac{1^{(\sqrt{n}}}{\sqrt{n+1}} = \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}^{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \dfrac{\not n+1-\not n}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}\\[/tex]
[tex]\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{n \cdot (n + 1)} (\sqrt{n} + \sqrt{n + 1} }}\\[/tex]
Astfel
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1 \cdot 2} (\sqrt{1} + \sqrt{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{1}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot 3} (\sqrt{2} + \sqrt{3} } = \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \ \ etc.[/tex]
Numărul A devine:
[tex]A = \dfrac{1}{\sqrt{1}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n-1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\[/tex]
Reducem termenii asemenea:
[tex]A = \dfrac{1}{\sqrt{1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Pentru n = 2022, numărul A este
[tex]A = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2022+1}} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2023}} = 1 - \dfrac{1}{17\sqrt{7}}\\[/tex]
Ecuația este:
[tex]\sqrt{x} \cdot A = \sqrt{x} - \dfrac{1}{17} \Rightarrow \sqrt{x} \cdot \bigg(1 - \dfrac{1}{17\sqrt{7}}\bigg) = \sqrt{x} - \dfrac{1}{17}\\[/tex]
[tex]\sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{x}}{17\sqrt{7}} = \sqrt{x} - \dfrac{1}{17} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{17\sqrt{7}} = \dfrac{1}{17} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{7}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf x = 7[/tex]
✍ Reținem:
Formula de calcul prescurtat utilizată:
[tex]\boxed{\boxed{\boldsymbol{(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}}}}\\[/tex]
⋆｡°✩ ⋆⁺｡˚⋆˙‧₊✩₊‧˙⋆˚｡⁺⋆ ✩°｡⋆
Teme similare (recurenţa telescopică aditivă) se găsesc aici → https://brainly.ro/tema/10617913 și aici → https://brainly.ro/tema/10451893
