Răspuns:
a) Pentru a arăta că (x+2)(x+5) = x²+7x+10 pentru orice număr real x, trebuie să folosim regula distributivității.
(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5)
= x² + 5x + 2x + 10
= x² + 7x + 10
Deci, egalitatea este valabilă pentru orice număr real x.
b) Pentru a demonstra că √E(n) este un număr natural pentru orice număr natural n, trebuie să arătăm că valoarea lui E(n) este un pătrat perfect.
Putem demonstra acest lucru prin simplificarea expresiei E(n) și apoi demonstrând că rezultatul este un pătrat perfect.
E(n) = (n+2)(n+3)(n+4)(n+5) + 1
Putem observa că fiecare termen din paranteze poate fi scris ca un pătrat perfect:
(n+2) = n² + 4n + 4
(n+3) = n² + 6n + 9
(n+4) = n² + 8n + 16
(n+5) = n² + 10n + 25
Substituind aceste expresii în E(n), avem:
E(n) = (n² + 4n + 4)(n² + 6n + 9)(n² + 8n + 16)(n² + 10n + 25) + 1
Dacă simplificăm această expresie, vom obține un polinom de gradul 8 în n, care nu este un pătrat perfect. Deci, nu putem demonstra că √E(n) este un număr natural pentru orice număr natural n.
Sper ca te-am ajutat.
