Răspuns:
salut!
Explicație pas cu pas:
Un șir este o progresie aritmetică dacă diferența între oricare doi termeni consecutivi este constantă. Pentru șirul dat \(aₙ = 3ₙ - 2\), putem verifica dacă diferența între termenii consecutivi este constantă.
\[ a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 2) - (3n - 2) \]
Simplificând aceasta, obținem:
\[ a_{n+1} - a_n = 3 \]
Deci, diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă și este 3. Prin urmare, șirul \(aₙ\) este o progresie aritmetică.
Pentru a determina \(n\) astfel încât \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 51\), putem folosi formula sumei unei progresii aritmetice:
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \]
Unde \(S_n\) este suma primilor \(n\) termeni, \(a_1\) este primul termen, \(n\) este numărul de termeni, iar \(d\) este diferența dintre termeni.
În acest caz, \(a_1 = 1\), \(d = 3\) și \(S_n = 51\). Înlocuind aceste valori, obținem:
\[ 51 = \frac{n}{2}[2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 3] \]
Soluționând această ecuație, găsim că \(n = 7\). Deci, suma primelor 7 termeni ai șirului este 51.
