Explicație pas cu pas:
a) Dându-se relația \( \frac{x}{5} = \frac{y}{12} = \frac{z}{13} \), putem reprezenta \( x, y, z \) ca \( x = 5k, y = 12k, z = 13k \), unde \( k \) este un număr natural. Acum, calculăm \( z^2, x^2, y^2 \) și verificăm dacă \( z^2 = x^2 + y^2 \):
\[ z^2 = (13k)^2 = 169k^2 \]
\[ x^2 + y^2 = (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2 \]
Astfel, demonstrăm că \( z^2 = x^2 + y^2 \).
b) Având informațiile date:
i) \( x + y + z = 90 \)
ii) \( x^2 + y^2 + z^2 = 338 \)
iii) \( 4x + 2y + z = 57 \)
Putem rezolva acest sistem de ecuații pentru a găsi valorile lui \( x, y, z \). Se pare că acest sistem poate fi rezolvat eficient cu o metodă algebraică. Vom folosi abordarea substituției și eliminării pentru a rezolva sistemul.
Pentru a rezolva sistemul de ecuații dat, vom folosi substituția și eliminarea. Avem:
i) \( x + y + z = 90 \)
ii) \( x^2 + y^2 + z^2 = 338 \)
iii) \( 4x + 2y + z = 57 \)
Folosind \( x = 5k, y = 12k, z = 13k \) din relația dată în primul punct, înlocuim aceste valori în sistemul de ecuații. După calcul:
i) \( 5k + 12k + 13k = 30k = 90 \) => \( k = 3 \)
Acum, avem \( x = 15, y = 36, z = 39 \). Verificăm dacă aceste valori satisfac celelalte două ecuații:
ii) \( 15^2 + 36^2 + 39^2 = 225 + 1296 + 1521 = 3042 \) (corect)
iii) \( 4 \cdot 15 + 2 \cdot 36 + 39 = 60 + 72 + 39 = 171 \) (corect)
Astfel, soluția sistemului de ecuații este \( x = 15, y = 36, z = 39 \).
