Răspuns:
Pentru a determina intervalele de concavitate și convexitate pentru funcțiile date, vom calcula derivata a doua a fiecărei funcții și vom identifica semnul acesteia pe intervalele de interes. Semnul derivatelor a doua ne va indica concavitatea și convexitatea funcțiilor.
a) \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \)
Derivata a doua:
\[ f''(x) = 6x - 6 \]
Semnul derivatelor a doua:
\[ f''(x) > 0 \) pe intervalul \( (-\infty, 1) \)
\[ f''(x) < 0 \) pe intervalul \( (1, +\infty) \)
Deci, funcția este convexă pe intervalul \( (-\infty, 1) \) și concavă pe intervalul \( (1, +\infty) \).
b) \( f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 5 \)
Derivata a doua:
\[ f''(x) = 6x - 18 \]
Semnul derivatelor a doua:
\[ f''(x) > 0 \) pe intervalul \( (3, +\infty) \)
\[ f''(x) < 0 \) pe intervalul \( (-\infty, 3) \)
Deci, funcția este convexă pe intervalul \( (3, +\infty) \) și concavă pe intervalul \( (-\infty, 3) \).
c) \( f(x) = x^4 + 1 \)
Derivata a doua:
\[ f''(x) = 12x^2 \]
Deoarece \( f''(x) > 0 \) pentru orice valoare a lui \( x \), funcția este convexă pe întreaga sa domeniu de definiție, adică pe \( (-\infty, +\infty) \).
