Răspuns:
Pentru a demonstra că un număr este divizibil cu un alt număr, putem folosi proprietățile și relațiile matematice relevante.
1. Pentru a demonstra că \( x = 25^n + 1.62^{n+1} + 52^{n+1} + 36 \) se divide cu 31, putem observa că fiecare termen din expresie poate fi scris sub forma \( 31k \), unde \( k \) este un număr întreg. Deci, putem rescrie \( x \) ca \( x = 25^n + 31k + 52^{n+1} + 31m \), unde \( k \) și \( m \) sunt numere întregi. Observăm că termenii \( 25^n \) și \( 52^{n+1} \) sunt divizibili cu 31 datorită teoremei lui Fermat, care afirmă că pentru orice număr prim \( p \) și orice număr întreg \( a \), \( a^p \equiv a \pmod{p} \). Prin urmare, \( 25^n \equiv 25 \pmod{31} \) și \( 52^{n+1} \equiv 52 \pmod{31} \). Așadar, fiecare termen din expresie este divizibil cu 31, deci suma lor, \( x \), este divizibilă cu 31.
2. Pentru a arăta că numărul \( D = (16^{312132} - 8^{32133} - 4^{32002}) \) se divide cu 36, putem folosi teorema lui Fermat ca mai sus pentru fiecare termen al expresiei. Observăm că fiecare termen este de forma \( a^b \), unde \( a \) este un număr întreg și \( b \) este un exponent, deci fiecare termen este divizibil cu 36.
3. Pentru a demonstra că \( F = a^{32n+2} - 2a^{32n+1} + b^{32n} \) se divide cu 5, putem folosi identitatea lui Newton pentru binomul ridicat la o putere, care ne spune că \( (x+y)^{32n} = x^{32n} + y^{32n} \). Aplicând această identitate pentru primele două termene ale lui \( F \), putem observa că fiecare termen este de forma \( a^{32n} \), care este divizibil cu 5 datorită condiției \( 3a + b = 5 \).
4. Pentru a arăta că numărul \( G = 4^{32n+3} + 3^{32n+2} + 2^{32n+1} \) este divizibil cu 60, putem observa că fiecare termen poate fi scris sub forma \( 60k \), unde \( k \) este un număr întreg, datorită faptului că fiecare termen este de forma \( a^b \), iar \( a \) este un număr întreg.
5. Pentru a demonstra că suma \( S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2008} \) este divizibilă cu 30, putem folosi faptul că fiecare termen al sumei poate fi scris sub forma \( 30k \), unde \( k \) este un număr întreg, deoarece \( 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{2008} \) formează un ciclu de lungime 4 în modulul 30. Prin urmare, suma lor este divizibilă cu 30.
