👤

Considerăm următorul joc: avem un triunghi şi numerele naturale 1, 2, 3. Pasul 1: în fiecare vârf al triunghiului se scrie unul din numerele date. Pasul 2: fiecare număr aflat în unul din vârfurile triunghiului se înlocuiește cu suma celorlalte două. Pasul 3: se repetă acțiunea de la pasul 2. a) Continuând în acelaşi fel, determinați numerele aflate în vârfurile triunghiului la pasul 4. b) Continuând în același fel, determinați suma numerele aflate în vârfurile triunghiului la pasul 2022.​

Răspuns :

Pentru a rezolva acest joc, vom începe prin a determina cum evoluează numerele în vârfurile triunghiului în fiecare pas.

Pasul 1: Inițial, avem triunghiul și numerele 1, 2, 3 în vârfurile sale.

```

1

2 3

```

Pasul 2: Înlocuim fiecare număr cu suma celorlalte două:

```

5

4 5

```

Pasul 3: Continuăm procesul, iar acum numerele devin:

```

9

9 10

```

Pasul 4: Înlocuim din nou fiecare număr cu suma celorlalte două:

```

19

19 19

```

Observăm că, începând cu pasul 3, numerele din vârfurile triunghiului sunt toate egale. Acest lucru se datorează faptului că, după pasul 2, toate numerele devin suma tuturor numerelor din pasul anterior.

Deci, pentru pasul 2022, vom avea:

- Fiecare vârf al triunghiului va avea aceeași valoare, care va fi suma tuturor numerelor de pe latura triunghiului la pasul anterior.

Pentru a găsi suma numerelor la pasul 2022, putem folosi formula sumei unei progresii aritmetice, deoarece fiecare latură a triunghiului va fi o astfel de progresie. Astfel, putem folosi formula:

\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]

unde \( S_n \) este suma primilor \( n \) termeni, \( a_1 \) este primul termen, iar \( a_n \) este al \( n \)-lea termen.

Deoarece toate numerele sunt egale, putem să le notăm cu o singură variabilă, să zicem \( x \). Astfel, avem:

\[ S_{2022} = 2022 \times x \]

Acum trebuie să găsim \( x \). La pasul 4, am obținut \( x = 19 \). Deci:

\[ S_{2022} = 2022 \times 19 = 384,858 \]

Deci, suma numerelor la pasul 2022 este \( 384,858 \).