Răspuns:
Sper ca îți este de folos, SUCCES!
Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că distanța parcursă de minge de la început până când atinge solul a 100-a oară nu depășește 24 de metri, putem folosi o abordare recursivă.
Fie \( d_n \) distanța totală parcursă de minge după \( n \) sărituri, inclusiv cea inițială de la 8 metri.
La fiecare săritură, mingei îi rămâne jumătate din înălțimea anterioară, deci putem exprima distanța parcursă astfel:
\[
d_n = 8 + 8 \times \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)
\]
Aceasta este o serie geometrică cu primul termen \( a = 1 \) și rată comună \( r = \frac{1}{2} \).
Putem folosi formula sumei unei serii geometrice pentru a simplifica această expresie:
\[
d_n = 8 \times (2 - (1/2)^n)
\]
Acum trebuie să găsim \( n \) astfel încât \( d_{100} \leq 24 \). Înlocuind \( d_{100} \) în ecuația de mai sus, obținem:
\[
8 \times (2 - (1/2)^{100}) \leq 24
\]
Soluționând această inegalitate, vom găsi valoarea maximă a lui \( n \) pentru care distanța totală nu depășește 24 de metri.
