Răspuns:
Pentru a determina funcțiile liniare care au ca grafice segmentele (AB),(AC) și (BC), vom folosi formula generală a unei funcții liniare:.
[tex]\[ f(x) = mx + n \][/tex]
a. Pentru segmentul \(AB\), avem două puncte: (A(3, 3) și (B(-3, 0)). Calculăm coeficientul de înclinare (m):
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{0 - 3}{-3 - 3} \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{-3}{-6} \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{1}{2} \][/tex]
Pentru a găsi termenul liber (n), folosim una dintre puncte, de exemplu (A(3, 3)):
[tex]\[ 3 = \frac{1}{2} \cdot 3 + n \][/tex]
[tex]
\[ 3 = \frac{3}{2} + n \][/tex]
[tex]\[ n = 3 - \frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} \]
[/tex]
[tex]\[ n = \frac{3}{2} \]
[/tex]
Prin urmare, funcția liniară care are ca grafic segmentul
[tex](AB) este f(x) = frac{1}{2}x + \frac{3}{2}).
[/tex]
Pentru segmentele \(AC\) și \(BC\) procedăm similar:
Pentru \(AC\):
[tex]\[ m = \frac{-3 - 3}{0 - 3} = \frac{-6}{-3} = 2 [/tex]
Pentru \(BC\):
[tex]\[ m = \frac{-3 - 0}{0 - (-3)} = \frac{-3}{3} = -1 \]
[/tex]
Deci, funcțiile liniare sunt:
[tex](f(x) = 2x - 3) pentru segmentul (AC)[/tex]
[tex](f(x) = -x - 3) pentru \\ segmentul (BC)[/tex]
b) Aria triunghiului \(ABC\) se poate calcula folosind formula pentru aria unui triunghi cu coordonatele vârfurilor date:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \][/tex]
Pentru punctele date, avem
[tex](A(3, 3)), (B(-3, 0)) și (C(0, -3)).[/tex]
[tex][ A = \frac{1}{2} \left| 3(0 - (-3)) + (-3)((-3) - 3) + 0(3 - 3) \right| \][/tex]
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \left| 3 \cdot 3 + (-3) \cdot (-6) \right| \][/tex]
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \left| 9 + 18 \right| \]
[/tex]
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \cdot 27 \][/tex]
A = 13.5
Deci, aria triunghiului (ABC) este (13.5) unități pătrate.
