Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ireductibil\breve{a}}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Descompunem numitorul în factori primi:
[tex]40n^2+31n+6= 40n^2 + 16n + 15n + 6 = 8n(5n+2) + 3(5n+2) =\\[/tex]
[tex]= (8n+3)(5n+2)[/tex]
Astfel, fracția devine:
[tex]\dfrac{20n+7}{40n^2+31n+6} = \dfrac{20n+7}{(8n+3)(5n+2)}[/tex]
Fracția este reductibilă dacă (8n+3) sau (5n+2) au un divizor comun cu (20n+7).
◉ Studiem primul caz și presupunem că există d₁, un divizor comun diferit de 1 al numerelor (20n+7) și (8n+3)
d₁ | (20n+7) ⇒ d₁ | 2(20n+7) ⇒ d₁ | (40n+14)
d₁ | (8n+3) ⇒ d₁ | 5(8n+3) ⇒ d₁ | (40n+15)
Dacă d₁ este divizor, atunci divide și diferența:
d₁ | (40n+15-40n-14) ⇒ d₁ | 1 ⇒ d₁ = 1 → contradicție (am presupus că d₁≠1)
◉ Studiem al doilea caz și presupunem că există d₂, un divizor comun diferit de 1 al numerelor (20n+7) și (5n+2)
d₂ | (20n+7)
d₂ | (5n+2) ⇒ d₂ | 4(5n+2) ⇒ d₂ | (20n+8)
Dacă d₂ este divizor, atunci divide și diferența:
d₂ | (20n+8-20n-7) ⇒ d₂ | 1 ⇒ d₂ = 1 → contradicție (am presupus că d₂≠1)
⇒ fracția este ireductibilă pentru orice valoare. a numărului natural n
q.e.d.
