Pentru a afla suma celor trei numere naturale pare, vom nota numerele cu \( x \), \( y \), și \( z \), unde \( y = 8 \) (numărul al doilea). Diferența dintre primul și al doilea număr este aceeași cu diferența dintre al doilea și al treilea, deci:
\( x - y = y - z \)
Știm că \( y = 8 \), deci:
\( x - 8 = 8 - z \)
Deoarece numerele sunt pare, diferența dintre ele trebuie să fie și ea un număr par. Să presupunem că diferența este \( 2d \), unde \( d \) este un număr natural. Atunci:
\( x - 8 = 2d \) și \( 8 - z = 2d \)
Rezolvăm cele două ecuații pentru \( x \) și \( z \):
\( x = 2d + 8 \)
\( z = 8 - 2d \)
Pentru că \( x \), \( y \), și \( z \) sunt numere naturale pare, \( d \) poate fi orice număr natural care face ca \( z \) să fie pozitiv și par. Deci \( d \) poate fi 1, 2, 3, ... atâta timp cât \( z \) rămâne un număr natural par.
Să luăm câteva valori pentru \( d \):
Pentru \( d = 1 \), avem:
\( x = 2 x 1 + 8 = 10 \)
\( z = 8 - 2 x 1 = 6 \)
Suma \( S = x + y + z = 10 + 8 + 6 = 24 \)
Pentru \( d = 2 \), avem:
\( x = 2 x 2 + 8 = 12 \)
\( z = 8 - 2 x 2 = 4 \)
Suma \( S = x + y + z = 12 + 8 + 4 = 24 \)
Toate soluțiile sunt de forma: \( x = 8 + 2n \), \( y = 8 \), \( z = 8 - 2n \), unde \( n \) este un număr natural astfel încât \( z \) să fie pozitiv și par. Suma va fi mereu \( S = 24 \).
