Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi concepte de geometrie plană și proprietăți ale unghiurilor și planele.
a) Pentru a demonstra că (MBD) și (MAC) sunt congruente, putem observa că triunghiurile MBD și MAC au un unghi comun (unghiul M) și laturile respective MB și MA care sunt egale (ambele au lungimea 6 cm). De asemenea, avem și unghiul drept la vârful M pentru ambele triunghiuri, deoarece AM este perpendiculară pe MB, deci triunghiurile MBD și MAC sunt congruente prin criteriul unghi-latură-unghi (ULU).
b) Măsura unghiului dintre planele (MBD) și (ABC) este egală cu măsura unghiului dintre vectorii normali la aceste plane. Vectorul normal la un plan este perpendicular pe acesta. Așadar, vom căuta unghiul dintre vectorii normali la planele (MBD) și (ABC).
Pentru planul ABCD, vectorul normal este dat de produsul vectorial al laturilor AB și AD ale pătratului. Având latura de 3√6 cm, lungimea laturii AB este 3√6 cm și AD este tot 3√6 cm, deoarece avem un pătrat. Deci, vectorul normal la planul ABCD este dat de AB x AD.
Pentru planul MBD, vectorul normal este dat de produsul vectorial al laturilor MB și BD. Lungimea lui MB este 6 cm, iar a lui BD este 3√6 cm, deci vectorul normal la planul MBD este dat de MB x BD.
Calculăm produsul vectorial al acestor două vectori și apoi folosim formula pentru calculul unghiului între vectori:
\[
\cos \theta = \frac{AB \cdot MB + AD \cdot BD}{\|AB\| \cdot \|BD\|}
\]
c) Pentru a demonstra că DEFB este un trapez isoscel, vom arăta că DF = EB.
Din proprietatea perpendicularității, avem EF perpendicular pe planul MDB și EA perpendicular pe planul MBC. Deci, DEFB este un trapez deoarece două laturi opuse sunt paralele. Isoscele este pentru că lungimea segmentelor DE și EF este egală cu cea a segmentelor FB și BE.
Explicație pas cu pas:
Hei, uite din ce ți-am scris mai sus ce îți convine și spor la teme!
