Răspuns :
Notăm P(n) propoziția;
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{2} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{n} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=4(cea mai mică)
[tex] P(4): \sqrt{1}+\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{4}>2\cdot4-2 \\ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2 >6 \\ \sqrt{2}+\sqrt{3}>3 \big|^2 \\ 2+2\sqrt{6}+3>9 \\ 2\sqrt{6}>4 \\ \sqrt{6}>2 \\ \sqrt{6} >\sqrt{4} \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{2} +\ldots+ \sqrt{k} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+ \sqrt{k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k} >2k-2 \ \big| +\sqrt{k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k+1} > 2k-2+\sqrt{k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{k+1}>0 \\ \sqrt{k+1} >2 \ \big|^2 \\ k+1>4 \\ k>3 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=4.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
A doua inducție.
Notăm P(n) propoziția;
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{3} +\sqrt{5} +\ldots+ \sqrt{2n-1} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=2(cea mai mică)
[tex] P(2): \sqrt{1}+\sqrt{3} >2\cdot2-2 \\ 1+\sqrt{3} >2 \\ \sqrt{3}>1 \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{2k-1} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots+ \sqrt{2k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k-1} >2k-2 \ \big| +\sqrt{2k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k+1} > 2k-2+\sqrt{2k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{2k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{2k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{2k+1}>0 \\ \sqrt{2k+1} >2 \ \big|^2 \\ 2k+1>4 \\ 2k>3 \\ k>\dfrac{3}{2} \implies k>1,5 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=2.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{2} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{n} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=4(cea mai mică)
[tex] P(4): \sqrt{1}+\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{4}>2\cdot4-2 \\ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2 >6 \\ \sqrt{2}+\sqrt{3}>3 \big|^2 \\ 2+2\sqrt{6}+3>9 \\ 2\sqrt{6}>4 \\ \sqrt{6}>2 \\ \sqrt{6} >\sqrt{4} \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{2} +\ldots+ \sqrt{k} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+ \sqrt{k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k} >2k-2 \ \big| +\sqrt{k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k+1} > 2k-2+\sqrt{k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{k+1}>0 \\ \sqrt{k+1} >2 \ \big|^2 \\ k+1>4 \\ k>3 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=4.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
A doua inducție.
Notăm P(n) propoziția;
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{3} +\sqrt{5} +\ldots+ \sqrt{2n-1} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=2(cea mai mică)
[tex] P(2): \sqrt{1}+\sqrt{3} >2\cdot2-2 \\ 1+\sqrt{3} >2 \\ \sqrt{3}>1 \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{2k-1} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots+ \sqrt{2k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k-1} >2k-2 \ \big| +\sqrt{2k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k+1} > 2k-2+\sqrt{2k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{2k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{2k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{2k+1}>0 \\ \sqrt{2k+1} >2 \ \big|^2 \\ 2k+1>4 \\ 2k>3 \\ k>\dfrac{3}{2} \implies k>1,5 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=2.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!