Pentru a rezolva aceste probleme, vom folosi teorema lui Thales și relațiile de proporționalitate dintre segmente.
a) Deoarece AB este paralel cu FH, utilizăm teorema lui Thales pentru a obține:
\[ \frac{HE}{EC} = \frac{FH}{AB} = \frac{DC}{AB} \]
\[ \frac{BH}{FD} = \frac{AB}{AF} = \frac{DC}{AF} \]
Substituind valorile date, obținem:
\[ \frac{HE}{3} = \frac{2}{6} \Rightarrow HE = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \, cm \]
\[ \frac{BH}{4} = \frac{2}{6} \Rightarrow BH = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3} \, cm \]
b) Utilizând aceleași relații de proporționalitate, dar cu valorile date diferite, obținem:
\[ \frac{BH}{FD} = \frac{8}{4} = 2 \]
\[ \frac{EC}{AF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
c) Folosind teorema lui Thales și valorile date:
\[ \frac{AF}{AD} = \frac{FH}{AB} = \frac{FD}{DC} \]
\[ \frac{FD}{DC} = \frac{BH}{HB} = \frac{EC}{HE} \]
d) Aplicând teorema lui Thales și valorile date:
\[ \frac{HE}{EC} = \frac{FC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\[ \frac{EC}{HE} = \frac{BH}{HB} = \frac{8}{2} = 4 \]
e) Utilizând relațiile de proporționalitate și valorile date:
\[ \frac{AF}{AD} = \frac{FH}{AB} = \frac{HC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\[ \frac{BH}{HB} = \frac{FD}{DC} = \frac{8}{5} \]
\[ \frac{FD}{DC} = \frac{AF}{AD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
f) Aplicând teorema lui Thales și valorile date:
\[ \frac{AF}{AD} = \frac{FH}{AB} = \frac{FD}{DC} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{FD}{DC} = \frac{BH}{HB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{DC}{EC} = \frac{AB}{HE} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]
