Răspuns:Simplificarea expresiei:
Înlocuim f(1) cu 1 și f(√2) cu √2, obținând:
a =
(√2-1)
√2-1
(√3-√2)
√3-√2
Simplificăm fracțiile:
a =
√2-1
1
√3-√2
1
Observăm că √2 - 1 și √3 - √2 sunt conjugate, deci le putem simplifica:
a =
√2-1
1
√3-√2
1
a =
(√2-1) * (√3+√2)
1 * 1
a =
(√2)2 - 12 + (√3)√2
1
a = 2 - 1 + √6
1
a = 1 + √6
Demonstrația caracterului natural:
Observăm că √6 este un număr irațional.
Adunând 1 la √6, obținem un număr real care nu este un număr întreg.
Un număr real care nu este un număr întreg nu poate fi un număr natural.
Concluzie:
Numărul a nu este un număr natural. Demonstrația de mai sus demonstrează că a este un număr real care nu este un număr întreg, deci nu poate fi un număr natural.
b) Calculul lui cos(KOAB):
Determinarea coordonatelor punctelor A și B:
Punctul A are coordonatele (a, 0), unde a este valoarea calculată la punctul a).
Punctul B are coordonatele (0, b), unde b este valoarea lui f(0).
Calculul lui KOAB:
KOAB = arctg(b/a)
Înlocuim a cu 1 + √6 și b cu f(0):
KOAB = arctg(f(0) / (1 + √6))
Determinarea lui f(0):
Din graficul funcției f, observăm că f(0) = 0.
Concluzie:
KOAB = arctg(0 / (1 + √6))
KOAB = arctg(0)
KOAB = 0
Concluzie:
Cosinusul unghiului KOAB este egal cu 0.
Observații:
Demonstrația de la punctul a) poate fi simplificată observând că √6 este un număr irațional. Un număr natural nu poate fi irațional, deci a nu poate fi un număr natural.
La punctul b), este important să observăm că f(0) = 0 din graficul funcției.
Sper că această rezolvare este clară și completă.
Explicație pas cu pas:
