Răspuns:
Pentru a rezolva aceste probleme, vom utiliza proprietățile geometrice ale unui cub.
a) Lungimea diagonalei cubului:
Lungimea diagonalei cubului este dată de formula:
\[d = \sqrt{3} \times \text{lungimea laturii}\]
\[d = \sqrt{3} \times 18 \approx 31.27 \text{ cm}\]
b) \(d(D', AC)\):
Distanța de la punctul \(D'\) la planul \(AC\) este distanța perpendiculară de la \(D'\) la \(AC\). Deoarece \(D'\) este opus lui \(A\), această distanță este egală cu lungimea diagonalei cubului, deci \(d(D', AC) = \sqrt{3} \times 18\).
c) \(d(A, BD')\):
Distanța de la punctul \(A\) la dreapta \(BD'\) este distanța perpendiculară de la \(A\) la dreapta \(BD'\). Deoarece \(A\) este în același plan cu \(BD'\), această distanță este lungimea segmentului \(BD'\), care este \(18\) cm.
d) \(d(A, (DCC'))\):
Aceasta este distanța de la punctul \(A\) la planul determinat de \(DCC'\). Distanța este distanța perpendiculară de la \(A\) la planul respectiv, care este egala cu distanța de la \(A\) la diagonala cubului, deci este \( \sqrt{3} \times 18 \) cm.
e) \(d(A, (BDD'))\):
Aceasta este distanța de la punctul \(A\) la planul determinat de \(BDD'\). Distanța este distanța perpendiculară de la \(A\) la planul respectiv, care este egala cu distanța de la \(A\) la diagonala cubului, deci este \( \sqrt{3} \times 18 \) cm.
f) \(d(A', (MDD'))\):
Punctul \(A'\) este opus punctului \(A\). Deci, distanța de la \(A'\) la planul \(MDD'\) este aceeași ca distanța de la \(A\) la planul \(MDD'\), care este distanța de la \(A\) la diagonala cubului, deci este \( \sqrt{3} \times 18 \) cm.
g) \(\sin(\angle ACB', \angle ACD')\):
Într-un cub, aceste unghiuri sunt unghiurile dintre diagonalele care trec prin \(A\). Ele sunt unghiurile diagonalelor față-diagonale, deci sunt congruente. Prin urmare, \(\sin(\angle ACB', \angle ACD') = \sin(\angle B'AC) = \sin(\angle ACD')\).
