Răspuns :
Pentru a rezolva aceste probleme, vom folosi formulele asociate cu un circuit RLC (rezistor, bobină și condensator).
a) Frecvența oscilațiilor \( f \) poate fi determinată folosind formula:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(20 \times 10^{-9}) \times (20 \times 10^{-3})}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-9}}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-4}} \]
\[ f \approx \frac{1}{4 \pi} \times 10^4 \]
\[ f \approx 7957 \, \text{Hz} \]
Deci, frecvența oscilațiilor este aproximativ \( 7957 \) Hz.
b) Intensitatea maximă a curentului electric \( I_{max} \) poate fi determinată folosind relația:
\[ I_{max} = \frac{U_{m1}}{\sqrt{L/C}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{(20 \times 10^{-3})/(20 \times 10^{-9})}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{1000}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{10} \times 10} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{10\sqrt{10}} \]
\[ I_{max} \approx \frac{15}{31.62} \]
\[ I_{max} \approx 0.474 \, \text{A} \]
Deci, intensitatea maximă a curentului electric este aproximativ \( 0.474 \) A.
c) Pentru a determina tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele, folosim conservarea energiei:
\[ U_{max} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \]
Unde \( Q \) este încărcătura pe fiecare condensator. În momentul când intensitatea este maximă, toată energia va fi stocată în condensatoare. Astfel, \( Q \) poate fi calculată folosind formula:
\[ Q = C_1 \times U_{m1} = 20 \times 10^{-9} \times 15 \]
\[ Q = 300 \times 10^{-9} \, \text{C} \]
\[ Q = 300 \, \text{nC} \]
\[ U_{max} = \frac{300 \times 10^{-9}}{20 \times 10^{-9}} + \frac{300 \times 10^{-9}}{30 \times 10^{-9}} \]
\[ U_{max} = 15 + 10 \]
\[ U_{max} = 25 \, \text{V} \]
Pentru a determina noua frecvență proprie, putem folosi formula:
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3}(20 \times 10^{-9} + 30 \times 10^{-9})}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-9}}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \times 10^4 \]
\[ f' \approx 1592 \, \text{Hz} \]
Deci, tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele este \( 25 \) V, iar frecvența proprie a devenit aproximativ \( 1592 \) Hz.
a) Frecvența oscilațiilor \( f \) poate fi determinată folosind formula:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(20 \times 10^{-9}) \times (20 \times 10^{-3})}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-9}}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-4}} \]
\[ f \approx \frac{1}{4 \pi} \times 10^4 \]
\[ f \approx 7957 \, \text{Hz} \]
Deci, frecvența oscilațiilor este aproximativ \( 7957 \) Hz.
b) Intensitatea maximă a curentului electric \( I_{max} \) poate fi determinată folosind relația:
\[ I_{max} = \frac{U_{m1}}{\sqrt{L/C}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{(20 \times 10^{-3})/(20 \times 10^{-9})}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{1000}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{10} \times 10} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{10\sqrt{10}} \]
\[ I_{max} \approx \frac{15}{31.62} \]
\[ I_{max} \approx 0.474 \, \text{A} \]
Deci, intensitatea maximă a curentului electric este aproximativ \( 0.474 \) A.
c) Pentru a determina tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele, folosim conservarea energiei:
\[ U_{max} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \]
Unde \( Q \) este încărcătura pe fiecare condensator. În momentul când intensitatea este maximă, toată energia va fi stocată în condensatoare. Astfel, \( Q \) poate fi calculată folosind formula:
\[ Q = C_1 \times U_{m1} = 20 \times 10^{-9} \times 15 \]
\[ Q = 300 \times 10^{-9} \, \text{C} \]
\[ Q = 300 \, \text{nC} \]
\[ U_{max} = \frac{300 \times 10^{-9}}{20 \times 10^{-9}} + \frac{300 \times 10^{-9}}{30 \times 10^{-9}} \]
\[ U_{max} = 15 + 10 \]
\[ U_{max} = 25 \, \text{V} \]
Pentru a determina noua frecvență proprie, putem folosi formula:
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3}(20 \times 10^{-9} + 30 \times 10^{-9})}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-9}}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \times 10^4 \]
\[ f' \approx 1592 \, \text{Hz} \]
Deci, tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele este \( 25 \) V, iar frecvența proprie a devenit aproximativ \( 1592 \) Hz.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Fizică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!