Funcția f: ℝ → ℝ definită ca \(f(x) = \{4x\}\), unde \(\{x\}\) reprezintă partea fracționară a lui x, este periodică deoarece există o valoare T (perioada) astfel încât \(f(x + T) = f(x)\) pentru orice valoare a lui x.
Pentru a determina perioada, putem lua în considerare intervalul dat \(I = (1, 2)\). Observăm că valoarea minimă și maximă a lui \(f(x)\) în acest interval va fi 0 și 1, respectiv, deoarece partea fracționară a lui \(4x\) va fi întotdeauna între 0 și 1.
Acum, trebuie să găsim valoarea minimă a lui T astfel încât \(f(x + T) = f(x)\) pentru orice valoare a lui x din intervalul dat. Din moment ce funcția are o valoare de maxim 1 în intervalul dat, trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui T astfel încât \(4(x + T)\) să fie încă între 0 și 1.
Putem scrie această condiție ca:
\[0 \leq 4(x + T) - \lfloor 4(x + T) \rfloor < 1\]
Și pentru că \(0 \leq \{x\} < 1\), putem simplifica:
\[0 \leq 4T - \lfloor 4(x + T) \rfloor < 1\]
Deoarece \(\lfloor 4(x + T) \rfloor\) este un întreg, putem folosi doar partea fracționară pentru a găsi o perioadă T:
\[0 \leq 4T - \{4T\} < 1\]
Acum, trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui T care satisface această inegalitate. Observăm că acest lucru se întâmplă când \(4T\) este între 0 și 1, adică \(0 \leq 4T < 1\). Deci, cea mai mică valoare a lui T care satisface această condiție este \(T = \frac{1}{4}\).
Prin urmare, perioada funcției f(x) în intervalul dat \(I = (1, 2)\) este \(\frac{1}{4}\).
