Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că fractia 6n + 1 / 11n + 2 este ireductibilă (simplificată la maxim), trebuie să arătăm că nu există un divizor comun între numerător și numitor, în afara valorii 1.
Putem folosi algoritmul lui Euclid pentru a găsi cel mai mare divizor comun dintre 6n + 1 și 11n + 2.
11n + 2 = 6 * (1n) + (5n + 2)
Acum, folosind divizorul comun 6n + 1 și restul (5n + 2), putem continua cu algoritmul lui Euclid:
6n + 1 = (5n + 2) * 1 + (n - 1)
Continuând această diviziune, obținem:
5n + 2 = (n - 1) * 4 + (3n + 6)
n - 1 = (3n + 6) * 1 + (-3n - 5)
3n + 6 = (-3n - 5) * (-1) + (9n + 11)
Continuând în același mod, obținem:
-3n - 5 = (9n + 11) * (-1) + (-14n - 16)
9n + 11 = (-14n - 16) * (-1) + (23n + 27)
-14n - 16 = (23n + 27) * (-1) + (-37n - 43)
23n + 27 = (-37n - 43) * (-1) + (60n + 70)
Din această ultimă diviziune, restul obținut este 60n + 70. Deoarece acest rest nu este egal cu 0 pentru nici o valoare a lui n, putem concluziona că nu există divizori comuni între numerător și numitor, în afara valorii 1.
Prin urmare, fractia 6n + 1 / 11n + 2 este ireductibilă.
