Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, vom utiliza geometria triunghiului isoscel și relațiile de trigonometrie în spațiul tridimensional.
Fie \( ABC \) triunghiul isoscel, cu \( AB = AC = 4 \) cm și \( AD \) înălțimea corespunzătoare bazei \( BC \), având lungimea tot de 4 cm. \( D \) este punctul unde înălțimea intersectează baza. \( P \) este punctul situat la o distanță de 6 cm de planul triunghiului.
Notăm \( E \) și \( F \) ca fiind proiecțiile lui \( P \) pe laturile \( AB \) și \( AC \), respectiv. Observăm că triunghiul \( APE \) și triunghiul \( APF \) sunt triunghiuri dreptunghice, deoarece \( PE \) și \( PF \) sunt proiecțiile perpendiculare ale \( P \) pe laturile respective.
Distanța de la punctul \( P \) la virfurile triunghiului este egală cu distanța de la \( P \) la \( E \) sau la \( F \). Deci, trebuie să găsim această distanță.
Notăm lungimea \( AP = h \). Astfel, avem \( AE = AF = h \).
Avem două triunghiuri dreptunghice, \( APE \) și \( APF \), astfel că putem folosi teorema lui Pitagora în aceste triunghiuri:
Pentru triunghiul \( APE \):
\[ AE^2 + EP^2 = AP^2 \]
\[ h^2 + (4 - EP)^2 = h^2 \]
\[ 16 - 8EP + EP^2 = 0 \]
\[ EP^2 - 8EP + 16 = 0 \]
Pentru triunghiul \( APF \):
\[ AF^2 + FP^2 = AP^2 \]
\[ h^2 + (4 - FP)^2 = h^2 \]
\[ 16 - 8FP + FP^2 = 0 \]
\[ FP^2 - 8FP + 16 = 0 \]
Soluția acestei ecuații de gradul al doilea este:
\[ EP = FP = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 16}}{2} \]
\[ EP = FP = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} \]
\[ EP = FP = \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2} \]
\[ EP = FP = \frac{8}{2} = 4 \]
Deci, distanța de la punctul \( P \) la virfurile triunghiului este \( 4 \) cm.
Explicație pas cu pas:
