Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi teorema lui Pitagora pentru a găsi lungimea laturii AB și apoi vom aplica relațiile trigonometrice pentru a găsi lungimile laturilor BD și DC.
1. Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, unde unghiul A este dreptunghi:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ AB^2 = 20^2 + 25^2 \]
\[ AB^2 = 400 + 625 \]
\[ AB^2 = 1025 \]
\[ AB = \sqrt{1025} \]
\[ AB = 5 \sqrt{41} \]
2. Pentru a găsi lungimile BD și DC, vom folosi rapoartele trigonometrice în triunghiul ABC:
a) Pentru a găsi lungimea lui BD:
\[ \sin(\angle B) = \frac{BD}{AB} \]
\[ \sin(\angle B) = \frac{BC}{AC} \]
\[ \sin(\angle B) = \frac{25}{20} \]
\[ \sin(\angle B) = \frac{5}{4} \]
Din această relație, putem folosi arcul sinusului pentru a găsi măsura unghiului B:
\[ \angle B = \sin^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) \]
\[ \angle B \approx 53.13^\circ \]
Acum, putem folosi relația:
\[ \cos(\angle B) = \frac{BD}{AB} \]
pentru a găsi lungimea lui BD:
\[ BD = AB \times \cos(\angle B) \]
\[ BD = 5 \sqrt{41} \times \cos(53.13^\circ) \]
\[ BD \approx 5 \sqrt{41} \times 0.6 \]
\[ BD \approx 3 \sqrt{41} \]
b) Pentru a găsi lungimea lui DC:
\[ DC = BC - BD \]
\[ DC = 25 - 3 \sqrt{41} \]
Deci, lungimile laturilor sunt:
- \( AB = 5 \sqrt{41} \)
- \( BD = 3 \sqrt{41} \)
- \( DC = 25 - 3 \sqrt{41} \)
