Răspuns:
Pentru a rezolva acest sistem de ecuații, putem folosi metoda substituției sau eliminării. Vom începe cu metoda substituției.
Ecuațiile date sunt:
1. \( \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{y}{\sqrt{3}} = 4 \)
2. \( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 5 \)
Pentru a folosi substituția, putem rezolva una dintre ecuații pentru una dintre variabile și apoi să înlocuim acea variabilă în cealaltă ecuație.
Să luăm prima ecuație:
1. \( \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{y}{\sqrt{3}} = 4 \)
Putem rezolva această ecuație pentru \(x\) sau pentru \(y\). Vom rezolva pentru \(y\):
\( \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{y}{\sqrt{3}} = 4 \)
\( \frac{xy}{\sqrt{6}} = 4 \)
\( xy = 4\sqrt{6} \)
Apoi, putem înlocui \(xy\) în a doua ecuație:
2. \( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 5 \)
Înlocuim \(xy\) cu \(4\sqrt{6}\):
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 5 \)
Apoi, simplificăm și rezolvăm ecuația pentru \(x\).
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{4 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + \frac{12\sqrt{6}}{3} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} + 4\sqrt{6} = 5 \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} = 5 - 4\sqrt{6} \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} = 5 - \frac{4\sqrt{6}}{1} \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} = \frac{5}{1} - \frac{4\sqrt{6}}{1} \)
\( \frac{3x}{\sqrt{2}} = \frac{5 - 4\sqrt{6}}{1} \)
\( x = \frac{5 - 4\sqrt{6}}{1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \)
\( x = \frac{5\sqrt{2} - 4\sqrt{12}}{3} \)
\( x = \frac{5\sqrt{2} - 4 \cdot 2\sqrt{3}}{3} \)
\( x = \frac{5\sqrt{2} - 8\sqrt{3}}{3} \)
Astfel, \(x = \frac{5\sqrt{2} - 8\sqrt{3}}{3}\) și \(y = \frac{4\sqrt{6}}{x}\).
