a) Pentru a demonstra că patrulaterul MNPB este un paralelogram, trebuie să arătăm că laturile opuse sunt paralele. Deoarece MN || BC și NP || AB, putem folosi criteriul laturilor paralele.
Din ipoteză, avem MN || BC și NP || AB.
Avem următoarele perechi de laturi paralele:
MN || BC
NP || AB
Pentru a arăta că patrulaterul MNPB este un paralelogram, trebuie să arătăm că și celelalte două perechi de laturi opuse sunt paralele:
MP || NB
MB || NP
Din teorema lui Thales, putem spune că dacă avem două drepte paralele (MN || BC și NP || AB) și acestea intersectează două drepte secante (AC și AB), atunci segmentele determinate pe aceste drepte secante sunt proporționale.
Prin urmare, putem spune că:
AM/MB = AN/NC = AP/PC
Din aceste relații, putem deduce că MP || NB și MB || NP.
Prin urmare, patrulaterul MNPB este un paralelogram.
b) Pentru a arăta că = Am SUPRA AB + PC SUPRA BC = 1, vom folosi teorema lui Menelaus.
Conform teoremei lui Menelaus, într-un triunghi ABC intersectat de o dreaptă care trece prin punctele M, N și P de pe laturile opuse, avem următoarea relație:
AM/MB * BN/NC * CP/PA = 1
Din demonstrația anterioară, știm că AM/MB = AN/NC = AP/PC.
Prin urmare, relația se simplifică la:
(AM/MB)³ = 1
Din această relație, putem deduce că AM/MB = 1 (deoarece ridicarea la putere a unei valori pozitive nu poate fi -1).
Astfel, avem:
AM SUPRA AB = MB SUPRA AB
De asemenea, din demonstrația anterioară, știm că AM/MB = AP/PC.
Prin urmare, avem:
AM SUPRA AB + PC SUPRA BC = MB SUPRA AB + PC SUPRA BC = 1
Astfel, obținem relația dorită: AM SUPRA AB + PC SUPRA BC = 1.
