a) Pentru a determina valoarea lui \( a \), vom folosi faptul că punctul \( A(2, 3) \) este pe graficul funcției \( f(x) \).
Substituim coordonatele punctului \( A \) în ecuația funcției \( f(x) \):
\( f(2) = (a + 1) \cdot 2 - (a + 2) = 3 \)
Soluționăm ecuația pentru \( a \):
\( 2a + 2 - a - 2 = 3 \)
\( a = 3 \)
Deci, pentru a), \( a = 3 \).
b) Vom rezolva ecuația \( f(x + 1) + f(x - 2) = 2 \), folosind expresia funcției \( f(x) \) pe care am găsit-o anterior.
Substituim \( f(x) \) în ecuație:
\( [(a + 1)(x + 1) - (a + 2)] + [(a + 1)(x - 2) - (a + 2)] = 2 \)
Simplificăm și rezolvăm ecuația pentru \( x \):
\( (a + 1)(x + 1) - (a + 2) + (a + 1)(x - 2) - (a + 2) = 2 \)
\( (a + 1)x + a + 1 - a - 2 + (a + 1)x - 2a - 2 - a - 2 = 2 \)
\( (a + 1)x - 4 = 2 \)
\( (a + 1)x = 6 \)
\( x = \frac{6}{a + 1} \)
Deci, soluția pentru ecuația \( f(x + 1) + f(x - 2) = 2 \) este \( x = \frac{6}{a + 1} \), unde \( a \) este 3.
