Răspuns:
Pentru a rezolva sistemul liniar omogen, trebuie să găsim soluțiile pentru \( x_1 \), \( x_2 \), și \( x_3 \) astfel încât toate ecuațiile să fie îndeplinite simultan. Vom folosi metoda substituției sau eliminării pentru a găsi soluțiile.
1. Pornim cu sistemul de ecuații:
\[
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
-x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\
\end{cases}
\]
2. Putem rezolva acest sistem folosind metoda substituției sau eliminării. Vom folosi eliminarea pentru a elimina variabila \( x_1 \):
Din ecuația 2, putem exprima \( x_1 \) în funcție de \( x_2 \) și \( x_3 \):
\[ x_1 = x_3 - x_2 \]
Substituim această valoare pentru \( x_1 \) în ecuațiile 1 și 3:
Ecuația 1 devine: \( 2(x_3 - x_2) + 3x_2 - 2x_3 = 0 \) simplificând: \( 2x_3 - 2x_2 + 3x_2 - 2x_3 = 0 \) rezultând: \( x_2 = 0 \)
Ecuația 3 devine: \( -(-x_3 + x_2) + 2x_2 + x_3 = 0 \) simplificând: \( x_3 - x_2 + 2x_2 + x_3 = 0 \) rezultând: \( x_3 = 0 \)
3. Deci, soluția sistemului este \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 0 \), și \( x_3 = 0 \).
