Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol{ \red{ \measuredangle A=36^{\circ} }, \red{ \measuredangle B=\measuredangle C = 72^{\circ} } }[/tex]
[tex](b) \boldsymbol{ \red{BP \equiv PD }}[/tex]
[tex](c) \boldsymbol{ \red{\mathcal{P}_{\Delta BEM} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{P}_{\Delta ABC} }}[/tex]
Ipoteză: ΔABC isoscel, AB≡AC, ∡B = 2·∡A, (BD bisectoare, D∈AC, DE⊥AB, E∈AB, EM║AC, M∈BC
Concluzie: ∡A=?, ∡B=?, ∡C=?, BP≡PD, P(ΔBEM) = P(ΔABC)/2
Rezolvare: a) Triunghiul este isoscel, cu baza BC ⇒ ∡B≡∡C
∡A + ∡B + ∡C = 180°
∡A + 2·∡A + 2·∡A = 180° ⇒ 5·∡A = 180° ⇒ ∡A = 36° ⇒ ∡B = ∡C = 72°
b) Din EM║AC ⇒ ∡BEM ≡ ∡BAC (unghiuri corespondente congruente) ⇒ ∡BEM = 36°
(BD bisectoare ⇒ ∡ABD = ∡CBD = 36°
Din E∈AB, P∈BD, P∈EM, ∡ABD = ∡BEM = 36° ⇒ ∡EBP = ∡BEP = 36° ⇒ ΔBEP este isoscel, cu EP ≡ BP
DE⊥AB ⇒ ∡BED = 90° ⇒ În ΔBED avem ∡BDE = 90°-∡EBD = 90°-36° = 54° ⇒ ∡PDE = 54°
∡DEP = 90°-∡BEP = 90°-36° = 54°
Atunci ∡PDE = ∡DEP = 54° ⇒ ΔDEP este isoscel, cu EP ≡ PD
Din cele două relații EP ≡ BP și EP ≡ PD ⇒ BP ≡ PD
c) Din DE⊥AB, ∡EBD = ∡EAD = 36° și DE latură comună, conform criteriului C.U. ⇒ ΔEBD ≡ ΔEAD ⇒ AE ≡ BE ⇒ AB = 2·BE
Din EM║AC ⇒ ΔBEM ~ ΔABC (conform T.f.a.) ⇒ factorul de proporționalitate este:
[tex]\dfrac{BE}{AB} = \dfrac{BE}{2BE} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = \dfrac{1}{2}[/tex]
Atunci raportul perimetrelor celor două triunghiuri este:
[tex]\dfrac{\mathcal{P}_{\Delta BEM}}{\mathcal{P}_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathcal{P}_{\Delta BEM} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{P}_{\Delta ABC}[/tex]
✍ Reținem:
◉ Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat.
◉ Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare.
O temă similară https://brainly.ro/tema/10635654
