Răspuns:
a)
f'(x) = (x)'(1/e^x) + x(-e^x) / (e^x)^2
f'(x) = 1/e^x - xe^x / e^(2x)
f'(x) = (1 - x)e^(-x)
b) Pentru a scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul x = 1, vom folosi derivata f'(x) calculată anterior. Derivata în punctul x = 1 este f'(1) = (1 - 1)*e^(-1) = 0, deci ecuația tangentei va fi y = f'(1) * x + f(1). Calculăm f(1) = 1/e = e^-1.
Astfel, ecuația tangentei la graficul funcției în punctul x = 1 este y = 0*x + e^-1 sau echivalent, y = e^(-1).
c) Pentru a găsi asimptota la +infinit la graficul funcției, vom studia comportamentul funcției f(x) când x tinde la infinit. Deoarece x/e^x tinde la 0 mai repede decât orice putere a lui x crește, asimptota la +infinit va fi axa Ox.
d) Pentru a identifica intervalele de monotonie ale funcției f(x) = x/e^x, studiem semnele derivatei f'(x) = (1 - x)e^(-x). Observăm că derivata primește valori pozitive când x < 1 și negative când x > 1.
Astfel, funcția este crescătoare pentru x < 1 și descrescătoare pentru x > 1.
