Pentru a rezolva această problemă, putem folosi teorema lui Pitagora și proprietățile triunghiului isoscel.
1. Observăm că triunghiul MBC este dreptunghic în M, deci putem folosi teorema lui Pitagora:
\[ MB^2 + MC^2 = BC^2 \]
2. Înlocuind cu valorile date, obținem:
\[ 5^2 + 12^2 = BC^2 \]
\[ 25 + 144 = BC^2 \]
\[ 169 = BC^2 \]
\[ BC = 13 \]
3. Cum triunghiul ABC este isoscel, BC este egal cu AB. Deci, \( AB = BC = 13 \).
4. Știm că proiecția punctului A pe planul care conține dreapta BC este punctul M. Dacă triunghiul MBC este dreptunghic în M, atunci AM este înălțimea triunghiului ABC pe latura BC.
5. Din triunghiul dreptunghic AMB, aplicând teorema lui Pitagora, avem:
\[ AM^2 + MB^2 = AB^2 \]
\[ AM^2 + 5^2 = 13^2 \]
\[ AM^2 + 25 = 169 \]
\[ AM^2 = 144 \]
\[ AM = 12 \]
6. Deci, lungimea segmentului AC este egală cu suma AM și MC, adică \( 12 + 12 = 24 \) cm.
7. Totuși, în enunț este vorba despre lungimea segmentului AC, nu suma AM și MC. Având în vedere că triunghiul ABC este isoscel, AM este mediana, medianele într-un triunghi isoscel sunt și înălțimi și medianele, prin urmare, MC este și el mediana triunghiului ABC.
8. Din proprietățile triunghiului isoscel, mediana corespunzătoare laturii egale este și înălțimea, deci MC este și înălțimea triunghiului ABC pe latura BC.
9. Prin urmare, lungimea segmentului AC este egală cu dublul valorii înălțimii triunghiului ABC pe latura BC, adică \( 2 \times 12 = 24 \) cm.
Astfel, lungimea segmentului AC este de 24 cm.
