Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ \mathcal{A}_{AMBN} > 450 \ dam^2 }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
MA și MB sunt tangente la cerc ⇒ OA ⊥ MA și OB ⊥ MB ⇒ ∡OAM = ∡OBM = 90°. Aplicăm Teorema lui Pitagora în ΔAOM dreptunghic:
[tex]OA = \sqrt{MO^2 - AM^2} = \sqrt{30^2 - (15\sqrt{3})^2} = \sqrt{225} = 15 \ dam[/tex]
[tex]OA = 15 \ cm, MO = 30 \ cm \Rightarrow OA = \dfrac{MO}{2} \xrightarrow[]{T.30^{\circ}} \measuredangle AMO = 30^{\circ}[/tex]
[tex]\measuredangle AMO + \measuredangle AOM = 90^{\circ} \Rightarrow \measuredangle AOM = 60^{\circ}[/tex]
Din OA ≡ OB și OM latură comună ⇒ ΔAOM ≡ ΔBOM (criteriul I.C.)
[tex]\Rightarrow \measuredangle BOM = 60^{\circ}[/tex]
A și N sunt puncte diametral opuse ⇒ O ∈ AN ⇒ ∡AON = 180°
∡NOB = 180° - (∡AOM + ∡ BOM) = 180° - 2 · 60° ⇒ ∡NOB = 60°
[tex]\left.\begin{matrix} ON \equiv OB \\ \measuredangle NOB = 60^{\circ} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boldsymbol{ \Delta NOB - echilateral}\\[/tex]
[tex]\mathcal{A}_{AMBN} = \mathcal{A}_{\Delta AOM} + \mathcal{A}_{\Delta BOM} + \mathcal{A}_{\Delta NOB} = 2 \cdot \dfrac{OA \cdot MA}{2} + \dfrac{OB^2\sqrt{3} }{4} = 15 \cdot 15\sqrt{3} + \dfrac{15^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{1125\sqrt{3}}{4} \ dam^2[/tex]
[tex]\sqrt{3} > 1,6 \Rightarrow \dfrac{1125\sqrt{3}}{4} > \dfrac{1125}{4} \cdot 1,6 = 450[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol { \mathcal{A}_{AMBN} > 450 \ dam^2}[/tex]
q.e.d.
