Răspuns :
Explicație pas cu pas:
Pentru a calcula măsura unghiului format de planele \( (VOA) \) și \( (VAB) \), trebuie să folosim proprietățile geometrice ale piramidei triunghiulare regulate și ale cercului circumscris triunghiului \( ABC \).
Observăm că triunghiul \( ABC \) este un triunghi dreptunghic, deoarece unghiul \( AVC \) este de \( 90^\circ \).
Pentru a găsi măsura unghiului dintre planele \( (VOA) \) și \( (VAB) \), putem folosi proprietatea că două planuri care intersectează un alt plan în două linii paralele vor fi perpendiculare între ele.
Deci, dacă putem arăta că linia \( AB \) este paralelă cu o linie în planul \( (VOA) \), atunci unghiul dintre aceste două plane va fi \( 90^\circ \).
În triunghiul dreptunghic \( ABC \), avem că:
\[ AM = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \]
\[ AC = 9\sqrt{2} \, \text{cm} \]
Folosind teorema lui Pitagora, putem găsi lungimea \( BC \):
\[ BC = \sqrt{AC^2 - AM^2} \]
\[ BC = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{2})^2} \]
\[ BC = \sqrt{162 - 72} \]
\[ BC = \sqrt{90} \]
\[ BC = 3\sqrt{10} \, \text{cm} \]
Acum, putem folosi faptul că triunghiul \( ABC \) este un triunghi dreptunghic pentru a găsi centrul cercului circumscris. Deoarece centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic este mijlocul ipotenuzei, acesta va fi \( \frac{1}{2} \) din \( BC \):
\[ OC = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \, \text{cm} \]
Având centrul cercului circumscris \( O \), putem vedea că linia \( AO \) va fi perpendiculară pe planul \( ABC \). Prin urmare, unghiul dintre planele \( (VOA) \) și \( (VAB) \) va fi \( 90^\circ \).
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!