Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol{ \red{72 \ cm}},(b) \boldsymbol{ \red{14,4 \ cm}}[/tex]
[tex](c) \boldsymbol{ \red{10,8 \ cm, \ 19,2 \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Notăm proporția derivată cu factorul de proporționalitate și aflăm lungimea catetelor din formula ariei:
[tex]\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AC}{4} = k \Rightarrow AB = 3k, AC = 4k[/tex]
Din formula ariei:
[tex]\mathcal{A} = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{3k \cdot 4k}{2} = 6k^2 \Rightarrow 6k^2 = 216 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow \bf k = 6[/tex]
AB = 18 cm, AC = 24 cm
Teorema lui Pitagora:
[tex]BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{18^2+24^2} = \sqrt{900}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol{BC = 30 \ cm}[/tex]
Perimetrul triunghiului este:
[tex]\mathcal{P} = AB+AC+BC = 18+24+30 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol{\mathcal{P} = 72 \ cm}[/tex]
b) Aflăm înălțimea din formula ariei:
[tex]\mathcal{A} = \dfrac{AD \cdot BC}{2} \Rightarrow \dfrac{AD \cdot 30}{2} = 216[/tex]
[tex]\Rightarrow AD = \dfrac{2 \cdot 216}{30} = \bf 14,4 \ cm[/tex]
c) Teorema catetei:
[tex]AB^2 = BD \cdot BD \Rightarrow 18^2 = BD \cdot 30 \Rightarrow \bf BD = 10,8 \ cm[/tex]
[tex]CD = BC - BD = 30 - 10,8\Rightarrow \bf CD = 19,2 \ cm[/tex]
