Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{BE = 2\sqrt{73} \ cm}}, \ \boldsymbol{ \red{CE = 2\sqrt{109} \ cm}} \\[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \red{DE = 6\sqrt{5} \ cm}}, \ \boldsymbol{ \red{d(E, BD) = \dfrac{6\sqrt{89} }{5} \ cm }}\\[/tex]
Explicație pas cu pas:
AE = 6 cm, AB = 16 cm, AD = 12 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔABD
[tex]AC = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{16^2+12^2} \Rightarrow AB = BD = 20 \ cm[/tex]
AE⊥(ABC), AB⊂(ABC), AC⊂(ABC), AD⊂(ABC) ⇒ AE⊥AB, AE⊥AB, AE⊥AD
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔEAB, ΔEAC, ΔEAD
[tex]BE = \sqrt{AE^2+AB^2} = \sqrt{6^2+16^2} = 2\sqrt{73} \ cm[/tex]
[tex]CE = \sqrt{AE^2+AC^2} = \sqrt{6^2+20^2} = 2\sqrt{109} \ cm[/tex]
[tex]DE = \sqrt{AE^2+AD^2} = \sqrt{6^2+12^2} = 6\sqrt{5} \ cm[/tex]
Construim AF⊥BD, F∈BD
∡ABD≡∡ΔFBA (criteriul U.U.U.) ⇒ ΔABD~ΔFBA
[tex]\dfrac{AB}{BF} = \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{BD}{AB} \Rightarrow \dfrac{12}{AF} = \dfrac{20}{16} \Rightarrow AF = \dfrac{12 \cdot 16}{20} = \dfrac{96}{10}[/tex]
AF⊂(ABC) ⇒ AE⊥AF
Din AE⊥(ABC), AF⊂(ABC), AF⊥BD (cf.T3⊥) ⇒ EF⊥BD ⇒ d(E, BD) = EF
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔEAF
[tex]EF = \sqrt{AE^2+AF^2} = \sqrt{6^2+\bigg(\dfrac{96}{10}\bigg)^2} = \sqrt{\dfrac{12816}{100} } = \dfrac{6\sqrt{89} }{5} \ cm[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol {d(E, BD) = \dfrac{6\sqrt{89} }{5} \ cm}[/tex]
