Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{18\sqrt{2} \ mm^3}}, (b) \boldsymbol{ \red{45^{\circ} }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Volumul tetraedrului regulat
[tex]V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{\ell\sqrt{6} }{3} = \dfrac{\ell^3\sqrt{2}}{12}[/tex]
AB = 6 mm
[tex]V = \dfrac{AB^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{6^3\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \ mm^3[/tex]
b) Construim NP║AC, P∈BC ⇒ ∡(MN, AC) = ∡(MN, NP) = ∡MNP
Fie Q mijlocul AD. Cum M, N, P, Q sunt mijloacele muchiilor congruente ⇒ sunt linii mijlocii ⇒ MP = NP = NQ = MQ = AB:2 = 6:2 = 3 mm
⇒ MP≡NP≡NQ≡MQ ⇒ MPNQ este paralelogram
CP ≡ BM și BN ≡ CQ ⇒ ΔBNM ≡ ΔCQP (criteriul I.C.) ⇒ MN≡PQ ⇒ MPNQ este pătrat ⇒ ∡MNP = 45° (unghiul dintre o latură și diagonală)
⇒ ∡(MN, AC) = 45°
