Răspuns:
vom folosi următoarele note:
1. Dacă trapezul are un unghi de 90 de grade la unul dintre vârfuri, atunci este un trapez dreptunghic.
2. Dacă o perpendiculară este trasată din unul dintre vârfuri ai bazei trapezului și intersectează baza opusă, avem un trapez dreptunghic.
3. Dacă latura AD este egală cu 1 și latura AB este egală cu 4, putem folosi regula teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic pentru a calcula celelalte laturi ale trapezului.
a) Calculând bazele și înălțimea trapezului:
Fie trapezul dreptunghic ABCD, unde unghiul ADB este drept (90 de grade). Avem că AB = 4 și AD = 1.
1. Folosind teorema lui Pitagora în triunghiuri, putem calcula celelalte laturi:
- ABDC este un dreptunghi, deci BC = AD = 1.
- Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul ADB: BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17. Așadar, BD = √17.
2. Calculăm apoi inălțimea trapezului, care este AC:
- AC este perpendiculară pe BD în punctul C, deci forma triunghiului ACB ne este utilă.
- Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ACB: AC^2 = AB^2 - BC^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15. Așadar, AC = √15.
Prin urmare, lungimea bazelor trapezului este BC = 1 și AB = 4, iar inălțimea trapezului este AC = √15.
b) Pentru a calcula distanțele de la punctul P la bazele trapezului, unde AD intersectează BC, vom folosi asemănarea triunghiurilor.
Forma geometrică a trapezului ne indică că ∆PBD și ∆PCA sunt asemenea. Având în vedere că AC = √15 și BD = √17, putem calcula lungimea segmentului PC.
Dacă notăm lungimea segmentului PC cu x, atunci trebuie să avem raportul de asemănare între ∆PBD și ∆PCA:
PB / PA = BD / AC
BC / (BC - x) = √17 / √15
1 / (1 - x) = √17 / √15
√15 / √15 - x√15 = √17
√15 - x√15 = √17√15
- x√15 = √17√15 - √15
x = √15 - √17
În final, distanțele de la punctul P la bazele trapezului sunt √15 - √17 și √15.
