Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{2}}[/tex]
Ipoteză: ABCD trapez, AB > CD, AB║CD, ∡A+∡B=90°, M şi N sunt mijloacele bazelor
Concluzie: (AB-CD)/MN = ?
Rezolvare: Notăm AD∩BC={P}. Deoarece ∡A+∡B=90° rezultă că ∡APB=90°. M este mijlocul AB ⇒ PN este mediană în triunghiul dreptunghic APB ⇒ PN≡AN≡BN (teorema medianei).
[tex]PN = \dfrac{AB}{2} \Rightarrow AB = 2PN[/tex]
[tex]DC\parallel AB \Rightarrow \Delta DPC \sim \Delta APB \ (T.f.a.) \Rightarrow \dfrac{PD}{PA} = \dfrac{CD}{AB} \ \ (1)[/tex]
[tex]M \in DC \Rightarrow DM\parallel AB \Rightarrow \Delta DPM \sim \Delta APN \ (T.f.a.) \Rightarrow \dfrac{PD}{PA} = \dfrac{PM}{PN} \ \ (2)[/tex]
[tex]Din \ (1) \ si \ (2) \Rightarrow \dfrac{CD}{AB} = \dfrac{PM}{PN} \Rightarrow \dfrac{AB - CD}{AB} = \dfrac{PN - PM}{PN}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{AB - CD}{2PN} = \dfrac{MN}{PN} \Rightarrow \dfrac{AB - CD}{MN} = \dfrac{2PN}{PN}[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf \dfrac{AB - CD}{MN} = 2[/tex]
✍ Reținem:
Teorema medianei: În orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei (mediana dusă din vârful unghiului drept) are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
